, SZ } como. i de estados propios de { ˆ s

Transcripción

1 Función de onda de spin de una partícula de spin S Si ψ es la función de onda de spin de una partícula de spin S, puede expandirse en la base Sσ de estados propios de {ˆ S, SZ } como ψ = S σ= S C σ Sσ. Los coeficientes C σ son las componentes ψ(σ) de ψ en dicha representación, o sea son las componentes (en general complejas) de un vector de dimensión S + 1 que representa a ψ. Así, para S = 1 se tiene ψ = ψ( 1) S 1 + ψ() S + ψ(1) S 1. Si ψ está normalizado los ψ(σ) cumplen ψ(σ) = 1. Si θ es la función de onda de un sistema de n partículas de spin 1/, puede expandirse en la base n i=1 1/ m s i i de estados propios de { ˆ s i, ŝiz } n i=1 como θ =... θ ms1 ms...msn 1/ ms1 1 1/ m s... 1/ m sn n. m s1 m s m sn Los m si toman los valores 1/, 1/. Si se hace la asociación binaria 1/ 1, 1/ entonces las componentes de θ se escriben como componentes contravariantes de un tensor de orden n en un espacio de dimensión, θ λµ...ω. Estos números complejos satisfacen θ λµ...ω = 1. Para partículas de spin 1/ se tiene θ = θ 11 1/ 1/ 1 1/ 1/ + θ 1 1/ 1/ 1 1/ 1/ + θ 1 1/ 1/ 1 1/ 1/ + θ 1/ 1/ 1 1/ 1/. ψ y θ se pueden identificar si θ λµ...ω es spinor simétrico se orden n = S. Ejercicios 1. Estudiar la relación entre las componentes ψ(σ) de la función de onda de una partícula de spin S y un spinor simétrico de orden S. (a) Para S = 1 se tiene para χ Sσ : χ 11 = 1, χ 1 = 1 1/ 1/, χ 1 1 = Las componentes se pueden rotular, respectivamente como 11, 1, 1,. Así por ejemplo las componentes no nulas de χ 1 son ψ(σ = ) = 1/. Verificar para este caso la fórmula [ ] 1/ (S)! ψ(σ) = ψ (S + σ)!(s σ)! 1.

2 donde el spinor simétrico tiene S + σ 1 y S σ. (b) Lo mismo para una partícula de spin 3/.. En el texto se demuestra la relación entre las componentes de un vector a y las de un spinor simétrico ψ µν. (a) Halle un spinor simétrico de segundo orden que sea equivalente al potencial vectorial A. Interprete el resultado. (b) Lo mismo que en (a) en el caso en que el vector sea el operador de spin σ. Operadores tensoriales 3. Un conjunto de k + 1 operadores ˆT kq constituye un operador tensorial de rango k. Si Û es un operador de rotación, la propiedad básica que define un operador tensorial consiste en que el conjunto de los k + 1 operadores realiza una representación irreducible del grupo de rotaciones, siendo D (J) M M Û ˆT kq Û = k q = k D (k) q q ˆT kq, elemento de la matríz de rotación ordinaria, D (J) M M = JM Û JM. Ahora considere una rotación infinitesimal del operador tensorial y demuestre que [Ĵz, ˆT kq] = q ˆT kq [Ĵ+, ˆT kq ] = [(k q)(k + q + 1)] 1/ ˆTkq+1 [Ĵ, ˆT kq ] = [(k + q)(k q + 1)] 1/ ˆTkq Considere el tensor cartesiano de segundo orden U i V j (con i, j = 1,, 3) formado con las 9 componentes de un par de vectores U y V. Demuestre que este tensor realiza una representación reducible del grupo de rotaciones. Demuestre que el subespacio de 9 dimensiones generado por 9 las componentes de este tensor puede descomponerse como suma directa de los subespacios de dimensiones 1, 3 y 5 generados por las componentes de tres tensores esféricos ˆT kq de rango k =, 1,. Coeficientes de Clebsch-Gordan y símbolos 6j 5. (a) Demuestre las fórmulas para los coeficientes de Clebsch-Gordan en la adición de un momento angular arbitrario j 1 y un j = 1/. (b) Utilizar el resultado de (a) para encontrar la función de onda de una partícula de spin 1/ y momento angular l en un estado de momento angular total jm j, con j = l ± 1/. 6. Calcule los elementos de matríz reducidos α J Ô αj de los operadores de momento angular orbital ˆ l y de spin ˆ s de un electrón.

3 7. En el texto se da la siguiente fórmula para calcular los elementos de matríz de un operador tensorial ˆT kq que es es producto de dos operadores tensoriales y ˆf () kq de rango k. El operador ˆf (1) actúa sobre estados de momento angular j 1 m 1 1 y análogamente ˆf (). Dicha fórmula para ˆT es: n 1n j 1j JM ( (1) ˆf k ˆf (1) k ) n 1 n j 1 j JM = 1 n J + 1 1j (1) 1J ˆf k n 1j 1 J n j J J () ˆf k n j J. En el texto se muestra que el lado derecho tiene una expresión en términos de los símbolos 6j. Utilice la fórmula anterior para calcular el valor esperado del producto escalar ˆ l ˆ s de los operadores de momento angular y de spin de un electrón, en estados de momento angular total lsjm j. Inversión temporal 8. Se demostró que el operador de inversión temporal de una partícula de spin 1/ está dado por ˆT = iσ y ˆK. (a) De una interpretación de esta fórmula para ˆT basada en que σ x y σ z son reales en tanto que σ y es imaginaria pura y que iσ y es una rotación de π alrededor de Y. (b) Halle ˆT para una partícula de spin 1 (matrices de spin de Gellman). Matríz densidad 9. Sean ŜZ y Ŝn los operadores que representan la componente del spin a lo largo de los ejes Z y ˆn respectivamente, donde ˆn = (sen θ senφ, sen θ cos φ, cos θ). (a) Halle Û(α, β, γ) tal que Û Z = n, y demuestre que e iφ/ cos θ n = e iφ/ sen θ y que representa el estado de spin de una partícula de spin 1/ con proyeccióm 1/ a lo largo del eje ˆn. (b) Calcule la matríz densidad correspondiente al estado puro n hallado en (a). 1. Considere el estado puro SM S que describe un sistema de dos partículas de spin 1/ en el estado singlete. Halle la matríz densidad correspondiente ˆρ 1. Al calcular la traza parcial de esta matríz densidad respecto al spin se obtiene una matríz densidad ˆρ 1 del spin 1. Muestre que esta matríz representa un estado ˆf (1) kq

4 mezclado. Calcule el grado de polarización correspondiente, p = (s x + s y + s z) 1/, e interprete el resultado. Finalmente, diga como está representado el estado ˆρ 1 en la esfera de Bloch del spin 1 y diga cual es la mezcla que describe este estado. Ejercicios sobre espín y partículas idénticas LANDAU, capítulo VIII 1. Numeral 55 p.1 y usar el resultado para hallar la fórmula explícita para el operador de rotaciones finitas de espín 1/.. Demostración detallada de (57,), (57,3), (57,5) y (57,6). 3. Numeral 58 p Numeral 58 p.. 5. Espinores. Verificar si se cumple que la contracción de dos índices en un espinor simétrico cualquiera da lugar a un espinor de rango inferior o a un espinor nulo. Demostrar (58,18). Demostrar que el complejo conjugado de un espinor covariante se transforma como uno contravariante. 6. Calcular las componentes del espinor que representa un estado de una partícula de espín 1/ con proyección del espín +1/ a lo largo de un vector unitario arbitrario. 7. Demuestre que la matríz densidad de un espín 1/ en un estado puro puede escribirse como ρ(ˆn) = 1 (I + ˆn σ), donde ˆn es un vector unitario arbitrario (localizado en la superficie de la esfera de Bloch) y σ es un vector formado con las matrices de Pauli. Utilice la forma explícita del espinor de un estado con proyección de espín 1/ a lo largo del eje ˆn para construir directamente el operador de proyección que representa a ρ(ˆn). 8. Demuestre que la matríz densidad de un espín 1/ en un estado mezcla puede escribirse como ρ(ˆp) = 1 (I + ˆp σ), donde ˆp es un vector arbitrario de longitud menor que 1 (localizado en el interior de la esfera de Bloch). Utilice el siguiente procedimiento: Cualquier matriz hermítica puede escribirse como combinación lineal de la matriz unidad y las matrices de Pauli. Analice las diferencias entre este y el anterior problema. 9. Elabore la tabla de multiplicar del grupo de permutaciones S 3. Halle las clases y los subgrupos. 1. Diseñar y resolver un problema que ilustre la siguiente afirmación: La integral de intercambio decrece exponencialmente con la distancia. LANDAU, capítulo IX 11. Numeral 6 p Numeral 6 p Numeral 63 p Numeral 63 p. (tercera edición). 15. Numeral 64. Demostrar (64,7) y (64,8) para N= y N=3, bosones.

5 16. Numeral 65. Demostrar (65,5) a (65,8) para N= y N=3, fermiones. 17. Sea un sistema bosónico de un grado de libertad. Los estados del sistema se pueden expresar como n >= (a ) n n! >, n =, 1,,... Se define un estado coherente z > como z >= e za >, z es un número complejo. En el caso fermiónico los estados coherentes requieren en vez de números complejos unas cantidades que pertenecen a un campo más general conocidas como variables de Grassmann. Calcule a z > y a z >. Calcule < z z >, el producto escalar de dos estados coherentes. 18. Considere las expresiones para los operadores de uno y de dos cuerpos en segunda cuantización [Landau (64,13) y (64,15)]. Demuestre que dichas expresiones retienen la forma cuando se realiza un cambio de base en los estados de una partícula, α >= i i >< i α >, donde los estados de la base inicial son i >= ψ i >, < i α > son los coeficientes de expansión y los estados de la nueva base son α >= φ α >. EJERCICIOS 1. Reexpresar la definición (57.4) del operador de spin 1/ por medio de las componentes spinoriales del operador vectorial ŝ. Solución. Utilizando las fórmulas (58.3) que establecen la relación entre el vector ŝ y el spinor ŝ λµ, la definición (57.4) se transcribe en la forma ŝ λµ ψ ν = i (ψλ g µν + ψ µ g λν ).. Escribir las fórmulas que definen la acción del operador de spin sobre una función de onda vectorial de una partícula de spin 1. Solución. La relación de las componentes de la función vectorial ψ con las componentes del spinor ψ λµ está dada por las fórmulas (58.3), y la última de las fórmulas (57.5) da: (donde ψ + = ψ x ± iψ y ) o ŝ z ψ + = ψ +, ŝ z ψ = ψ, ŝ z ψ z =, ŝ z ψ x = iψ y, ŝ z ψ y = iψ x, ŝ z ψ z =. Las otras fórmulas se deducen por permutación circular de los índices x, y, z. Estas fórmulas toman la forma condensada

6 ŝ i ψ k = ie ikl ψ l. El vector complejo ψ puede ponerse bajo la forma ψ = e iα (u + iv), donde u y v son vectores reales que, por una elección conveniente de la fase comun α, pueden hacerse perpendiculares. Los dos vectores u y v determinan un plano que goza de la propiedad de que la proyección del spin a lo largo de la normal a ese plano puede tomar solamente los valores ±1.